超々入門相対論 (付録) ローレンツ変換と回転変換

2024年藤原隆男

虚数の三角関数や双曲線関数の知識（大学の理系学部では習う）があると, つぎのように簡単にローレンツ変換を導くことができるので, 参考のために紹介しよう。まず幾何学の「回転変換」から。 XY 平面で, 原点からの距離の2乗 \({x^2} + {y^2}\) を一定に保つ変換は回転変換だ。すなわち,

\[ \begin{align} & x' = \:\:\: x\cos \theta + y\sin \theta \\ & y' = -x\sin \theta + y\cos \theta \\ \end{align} \]

いっぽう, ローレンツ変換は \({x^2} - {(ct)^2}\) を一定に保つ変換だ。この距離の2乗のようなものを世界間隔という。世界間隔は正になったり負になったりする。正のとき世界間隔は距離的である, 負のとき世界間隔は時間的であるという。また, 世界間隔 0 は光の運動に対応する。ここで, 時間 \(ct\) に\(i\)をかけて虚数にする, すなわち \(w = ict\) と置くと, ローレンツ変換で一定に保たれる量 (世界間隔) を \({x^2} + {w^2}\) と書くことができる。これは, 回転変換のときの原点からの距離の2乗と同じ形だ。したがって, ローレンツ変換は, 空間\(x\)と虚数時間\(w\)のあいだの回転変換として表せることになる (ただし回転角度は虚数)。すなわち,

\[ \begin{align} & x'\, = \:\:\: x\cos (i\eta ) + w\sin (i\eta ) \hfill \\ & w' = -x\sin (i\eta ) + w\cos (i\eta ) \hfill \\ \end{align} \]

ところで, 虚数角度の三角関数を双曲線関数で表すことができる。すなわち,

\[ \sin (i\eta ) = \frac{{{e^{ - \eta }} - {e^\eta }}}{{2i}} = i\sinh \eta \]

\[ \cos (i\eta ) = \frac{{{e^{ - \eta }} + {e^\eta }}}{2} = \cosh \eta \]

これを使って虚数角度の回転変換の式を書き換えると，つぎのようになる。

\[ \begin{align} & x'\: = \:\:\: x\cosh \eta - ct\sinh \eta \hfill \\ & ct' = -x\sinh \eta + ct\cosh \eta \hfill \\ \end{align} \]

ところで, 速度が小さいときにこの変換がガリレイ変換に移行することから, 角度\(\eta\)と速度\(v\)とのあいだには

\[ \frac{{\sinh \eta }}{{\cosh \eta }} = \tanh \eta = v/c \]

の関係があることがわかる。双曲線関数の公式 \(1 - {\tanh ^2}\eta = {1}/{{{\cosh }^2}\eta }\) より,

\[ \cosh \eta = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{(v/c)}^2}} }} \]

\[ \sinh \eta = \frac{{v/c}}{{\sqrt {1 - {{(v/c)}^2}} }} \]

と書けるので, これらを使って虚数角度の回転変換の式を書き換えるとつぎの式が得られる。

\[ x' = \frac{{x - (v/c)ct}}{{\sqrt {1 - {{(v/c)}^2}} }} \]

\[ ct' = \frac{{ct - (v/c)x}}{{\sqrt {1 - {{(v/c)}^2}} }} \]

これはローレンツ変換である。このように, 数学的には, ローレンツ変換は虚数角度の回転変換として表すことができる。ちなみに, 数学ではふつうの3次元空間をユークリッド空間, これに時間を含めた, ローレンツ変換が成り立つ時空間をミンコフスキー空間という。

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T. Fujiwara, updated 2024/09